La Conjetura del Jacobiano para N = 2

Actualizado el 19 de agosto de 2026. La conjetura clásica del jacobiano en dos variables sobre los números complejos sigue abierta. Esto importa más que antes: ahora existen contraejemplos explícitos que demuestran que la conjetura falla en todas las dimensiones a partir de tres. El plano es el único caso que sigue en pie.

La versión corta

La conjetura del jacobiano plantea una pregunta engañosamente sencilla sobre fórmulas polinómicas. Supongamos que una fórmula lleva puntos a otros puntos sin plegar, comprimir ni desgarrar el espacio en ninguna región local. ¿Tiene que existir otra fórmula polinómica que la deshaga en todas partes?

Para una variable, sí. Para dos variables complejas, nadie lo sabe. Para tres o más variables, ahora sabemos que no.

Esa última oración es el gran cambio desde que este artículo se publicó por primera vez. En julio de 2026, unos investigadores presentaron una aplicación polinómica de tres variables que pasa la prueba local de la conjetura, pero lleva tres puntos distintos al mismo lugar. Una demostración formal independiente verificó el cálculo decisivo. Al agregar coordenadas que no se utilizan, ese único ejemplo se convierte en contraejemplos para todas las dimensiones superiores.

Nada de eso produce un contraejemplo en dos variables ni demuestra que uno no pueda existir. JC(2), el caso del plano complejo, sigue siendo un problema abierto.

El acertijo sin la jerga

Comencemos con una regla polinómica reversible y conocida:

Si el resultado es $(u,v)$, recuperar la entrada es sencillo:

La regla puede curvar el plano, pero no pierde información. Siempre es posible recorrerla al revés.

La conjetura del jacobiano pregunta si una prueba local en particular garantiza ese buen resultado para toda regla polinómica. Para una aplicación $F=(P,Q)$, la prueba es el determinante

Este mide el cambio infinitesimal de área y orientación de la aplicación. Cuando el determinante es una constante distinta de cero, la aplicación parece reversible bajo el microscopio en cada punto y conserva exactamente la misma escala local en todas partes. Una aplicación así suele llamarse aplicación de Keller.

La conjetura dice:

Si una aplicación polinómica tiene un determinante jacobiano constante y distinto de cero, entonces tiene una inversa polinómica.

La dirección hacia adelante es sencilla: si ya existe una inversa polinómica, las reglas ordinarias de derivación obligan al determinante a ser una constante distinta de cero. El misterio está en la afirmación inversa. ¿Pasar la prueba local obliga a que exista una forma global de deshacer la aplicación?

Por qué el cálculo no lo resuelve

El teorema de la función inversa dice que un jacobiano distinto de cero hace que una aplicación sea reversible cerca de cada punto individual. Esa es una promesa local, no global.

Esta imagen mental puede ayudar. Imaginemos que colocamos una lámina transparente sobre un mapa. Si la lámina nunca se pliega ni se rompe, cada vecindad diminuta puede volver a aplanarse. Sin embargo, lejos de ahí, la lámina todavía podría perderse hacia el infinito y dejar un vacío en la imagen completa. Un microscopio local no puede ver ese escape.

Los matemáticos llaman propia a una aplicación que cumple la condición global que hace falta. En términos muy generales, una aplicación propia no permite que los puntos se alejen arbitrariamente mientras sus imágenes permanecen acotadas. Una aplicación de Keller propia es reversible. La posibilidad difícil es una aplicación que sea impecable localmente, pero pierda información «en el infinito».

Por eso la conjetura resistió durante tanto tiempo un argumento de cálculo que parecía obvio.

Qué cambió en julio de 2026

Se demostró que una aplicación explícita del espacio complejo de dimensión tres en sí mismo tiene un determinante jacobiano constante y distinto de cero, a la vez que lleva tres puntos diferentes al mismo resultado. Eso basta para refutar la conjetura en dimensión tres: ninguna inversa de ningún tipo puede llevar un único resultado de vuelta a tres entradas distintas.

El resultado no descansa únicamente en un cálculo hecho a mano ni en un anuncio en redes sociales. La verificación del Archive of Formal Proofs comprueba en Isabelle/HOL tanto el determinante constante como la colisión de los tres puntos. También verifica el siguiente paso, sencillo pero importante: agregar coordenadas identidad produce contraejemplos en todas las dimensiones finitas $n\ge3$.

Poco después, el preprint de Shuhong Gao presentó una explicación geométrica autosuficiente y construyó más ejemplos. Su mensaje principal es que el nuevo fenómeno no es un accidente numérico aislado: existen contraejemplos en todas las dimensiones superiores a dos, y los ejemplos pueden tener un tamaño de fibra genérica arbitrariamente grande. Aquí, «tamaño de fibra genérica» solo significa cuántas entradas tiene un resultado típico.

Así que la conjetura general es falsa. Pero la construcción comienza con tres coordenadas. No contiene una manera válida de eliminar una coordenada y conservar las propiedades necesarias. Esa coordenada que hace falta no es una nota técnica al pie; es la razón completa por la que JC(2) sigue siendo un problema vivo.

Por qué el plano sigue siendo especial

En dos variables, las curvas y su comportamiento en el infinito están mucho más restringidos que las superficies en tres variables. Los trabajos recientes han hecho que ese contraste sea más marcado, pero no lo han eliminado.

Un ejemplo útil es el preprint de julio de T. Shaska sobre aplicaciones de Keller graduadas. Demuestra que una aplicación de Keller en dos variables, con una simetría de escala compatible, es invertible. Este es un verdadero teorema sobre una familia amplia y natural de aplicaciones. No es una demostración de JC(2), porque una aplicación polinómica arbitraria en dos variables no tiene por qué poseer esa simetría.

Vale la pena tener presente esa distinción cada vez que un titular afirma que un artículo nuevo «resuelve un caso» de la conjetura. Resolver un caso estrecha la búsqueda. No resuelve la pregunta completa, a menos que se sepa que todas las aplicaciones posibles pertenecen a ese caso.

También existe una medida útil de cuán difícil tendría que ser un contraejemplo hipotético. Un resultado publicado de cribado por grados descarta todas las parejas de grados, salvo una, por debajo del grado máximo 125, y eleva el límite inferior establecido de 100 a 108. En palabras sencillas: si existe un contraejemplo en el plano complejo, no puede ser una de las fórmulas comparativamente simples que los investigadores ya han logrado eliminar.

Eso es progreso, pero es una cerca alrededor de lo desconocido, no una demostración de que no hay nada más allá de la cerca.

Un contraejemplo real en el plano que no resuelve JC(2)

La terminología se ha vuelto más fácil de confundir. A finales de julio, Romy Mondello publicó un preprint con un contraejemplo en dos variables y característica dos, el entorno aritmético construido sobre el campo con dos elementos. Su determinante jacobiano es uno, pero tres puntos distintos comparten la misma imagen.

Ese es un resultado importante sobre la conjetura separable del jacobiano en característica dos. No es un contraejemplo para la conjetura clásica de la que hablamos acá, que trata sobre característica cero, especialmente sobre los números complejos. La aritmética cambia radicalmente cuando $1+1=0$; una fórmula que funciona en característica dos no puede leerse sin más como un contraejemplo complejo.

La lección es modesta, pero importante: al leer noticias sobre la conjetura del jacobiano, siempre conviene hacer dos preguntas primero.

• ¿En qué dimensión está la aplicación?

• ¿Qué sistema numérico utiliza?

Para el caso abierto que queda, la respuesta debe ser dos variables sobre característica cero.

Qué se sabe realmente hoy

En esta actualización, el estado puede resumirse con claridad.

La segunda fila está aislada de una manera poco común. La conjetura ya no es una afirmación universal para todas las dimensiones, pero el plano todavía podría obedecer la regla. Aún no sabemos si lo hace.

Cómo leer estas afirmaciones con responsabilidad

Este problema tiene una larga historia de demostraciones falsas que parecían convincentes. El avance reciente hace que la lectura cuidadosa sea todavía más necesaria, no menos.

• Una colisión explícita es decisiva. Si una aplicación de jacobiano constante lleva dos puntos distintos al mismo resultado, no puede ser invertible. El contraejemplo tridimensional cumple ese estándar y sus hechos fundamentales fueron verificados formalmente.

• Un teorema restringido sigue siendo valioso. Un resultado sobre aplicaciones simétricas, graduadas, de grado bajo o de alguna otra clase especial puede ser correcto y útil sin abarcar todas las aplicaciones de Keller.

• Un preprint es evidencia, no el final del proceso. Merece ser leído, verificado, discutido y, con el tiempo, reforzado o corregido. Las fuentes de abajo identifican cuáles documentos son preprints.

• «Bidimensional» no basta por sí solo. La característica dos y la característica cero son problemas distintos.

Esos hábitos no son burocracia. Son la forma en que un campo protege un avance real para que no termine convertido en una afirmación mayor de lo que permite la evidencia.

Por qué importa esta pregunta que queda

La conjetura del jacobiano es una pregunta compacta sobre fórmulas polinómicas, pero se encuentra justo donde se unen el álgebra, la geometría y la división entre lo local y lo global. Pregunta cuándo un comportamiento perfecto en cada vecindad diminuta basta para controlar todo un espacio infinito.

Los contraejemplos de 2026 cambiaron la historia de «esto debería ser siempre cierto» a un par de preguntas más interesantes:

1. ¿Por qué puede escaparse la información hacia el infinito en tres dimensiones o más?

2. ¿Qué impide, si es que algo lo impide, que ocurra el mismo escape en el plano complejo?

La respuesta a la segunda pregunta podría ir en cualquiera de las dos direcciones. Podría demostrar que toda aplicación de Keller en dos variables realmente es reversible. O podría revelar el primer contraejemplo en el plano complejo. Por ahora, ambos resultados siguen siendo posibles.

Fuentes y lecturas adicionales

• Formal Verification of an Explicit Counterexample to the Jacobian Conjecture, Archive of Formal Proofs, julio de 2026. Verificación independiente, comprobada por máquina, del ejemplo tridimensional y de sus extensiones a dimensiones superiores mediante coordenadas identidad.

• Shuhong Gao, “Counterexamples to the Jacobian conjecture in dimensions greater than two”, preprint de arXiv, julio de 2026. Un tratamiento geométrico autosuficiente y nuevas familias en dimensiones superiores.

• T. Shaska, “Graded Keller maps and the Jacobian Conjecture”, preprint de arXiv, julio de 2026. Un resultado en dos variables para aplicaciones con una graduación compatible.

• Romy Mondello, “A Dimension-Two Counterexample to the Separable Jacobian Conjecture in Characteristic Two”, preprint de arXiv, julio de 2026. El resultado reciente en el plano para característica dos y el alcance preciso de ese resultado.

• Jorge Alberto Guccione, Juan José Guccione, Rodrigo Horruitiner y Christian Valqui, “Increasing the degree of a possible counterexample to the Jacobian Conjecture from 100 to 108”, 2022. El cribado publicado de grados para contraejemplos hipotéticos en el plano.

• Bass, Connell y Wright, “The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse”, 1982. Una explicación fundamental de reducciones influyentes y de por qué no conservan una dimensión fija.